Assalamualaikum
wr.wb
Hoi hoi bertemu
lagi di BAB 2 kali ini kita akan belajar definisi dan aksioma aljabar Boolean,
seperti biasa untuk mengawali pembahasan mari kita ucapakan bismillahirahmanirahim
untuk menambah berkah dalam pelajaran kita kali ini.amin, yosh mantapkan
semangat mari kita mulai bab 2......
Bab 2 Definisi dan
Aksioma Aljabar Boolean
2.1 Definisi
Definisi
2.1 :
Aljabar Boolean adalah seistem aljabar yang berisi set S dengan dua operasi penjumlahan (#) dan perkalian (,) yang didefinisikan pada set itu sehingga memenuhi ketentuan berikut:
1.
Aturan
A1 sampai A5, M1 sampai M3, M5, D1, dan D2
2.
Setisp
elemen adalah ‘idempoten’ yaiut if a ∈ S, maka a,a = a
Definisi
2.2
Aljabar Boolean adalah system aljabar yang berisis set S dengan dua operasi + dan . yang didefinisikan pada set, sehingga setiap elemen a, b, c dari S mempunyai sifat – sifat atau aksioma-aksioma berikut:
A1
|
a
+ b ∈ S
|
<closure>
|
M1
|
a.b
∈ S
|
<cosure>
|
A2
|
a + (b + c) = (a + c)
+ c
|
<asosiatif>
|
M2
|
a.(b.c)
= (a.b).c
|
<asosiatif>
|
A3
|
Jika
0 ∈ S maka
untuk setiap a ∈ S, adalah a+0 = 0 + a = a
|
<identitas>
|
M3
|
Jika
1 ∈ S maka
untuk setap a ∈ S, adalah a.1 = 1.a = a
|
<identitas>
|
A5
|
a
+ b = b + a
|
<komutatif>
|
M5
|
a.b
= b.a
|
<komutatif>
|
D1
|
a.(b
+ c) = a.b + a.c
|
<distributif>
|
D2
|
(a
+ b).c = a.c + a.b
|
<distributif>
|
D3
|
a
+ (b.c) = (a + b).(a + c)
|
<distributif>
|
D4
|
(a.b)
+ c = (a + c).(b + c)
|
<distributif>
|
C1
|
Untuk
setiap a ∈ S, dan
a’ ∈ S, maka a + a’ = 1 dan a.a’ = 0
|
<komplemen>
|
2.2 Prinsip Dualitas
Teorema
2.1
Untuk setiap elemen a, berlaku :
a + a = a dan aa = a
Teorema
2.2
Untuk setiap elemen a, berlaku :
a + 1 = 1 dan a.0 = 0
Teorema
2.3
Untuk setiap elemen a dan b, berlaku :
Teorema
2.4
Untuk setiap elemen a dan b, berlaku :
(a.b)’ = a’ + b’ dan (a + b)’ = a’b’
(disebut dengan hkum de morgan)
Teorema
2.5
0’ = 1 dan 1’ = 0
Teorema
2.6
Jika suatu aljabar boolean berisi palin setikit dua elemen yang berbeda, maka 0 ≠ 1
Pembuktian rumus dualitas dilakukan
berdasar aksioma dan sifat dari aljabar Boolean, yaitu:
1a. Pernyataan : a + a = a
Bukti
a + a = (a + a) (1) identitas
=
(a + a) (a + a’) komplemen
= a + (a.a’) distributif
= a + 0 komplemen
= a identitas
1b. Pernyataan : a.a = a
Bukti
a.a =
a.a + 0 identitas (dual dari 1.a)
= a.a + a.a’ komplemen
= a (a.a’) distributif
= a.1 komplemen
= a identitas
2a. Pernyataan a + 1 = a
Bukti
a + 1 = a + (a + a’) komplemen
= (a+a) + a’ asosiatif
= a + a’ teorema 1.a
= 1 komplemen
2b. Pernyataan : a.0 = a
Bukti
a.0 =
a.(a.a’) komplemen (dual dari 2.a)
= (a.a).a’ asosiatif
= a.a’ idempoten
= 0 komplemen
3a. Pernyataan : a + ab = a
Bukti
a + ab = a.1 + a.b identitas
= a(1 + b) distributif
= a + 1 teorema 2a)
= a identitas
3.b Pernyataan : a.(a + b) = a
Bukti
a.(a + b) = a.a + a.b distributif
= a + ab idempoten
= a.1 + ab identitas
= a(1+b) distributif
= a.1 teorema
2a)
= a identitas
4.a Pernyataan : (a.b)’ = a
Bukti
(a.b)’ = a’ + b’
diketahui : (ab)(ab)’ =0
diperlihatkan : (ab)(a’ + b’) =0
Bukti
(ab)(a’ + b’) = aba’ + abb’ distributif
= 0.b + a.0 komplemen
= 0 + 0 teorema 2b)
= 0 identitas
4.b Pernyataan : (a.b)’ = a
Bukti
(a + b)’ = a’b’
diketahui : (ab) + (ab)’ = 1
diperlihatkan : ab + a’ + b’ = 1
Bukti
ab + (a’ + b’) = (a + a’ + b’) (b + a’ + b’) distributif
= (1 + b’)(1
+ a’) komplemen
= 1.1 teorema
2a)
= 1 identitas
2.3 Aturan <= (Lebih
Kecil Daripada)
Definisi
2.3
x
dan y adalah elemen-elemen dari aljabar boolean. Dinyatakan bahwa :
x
lebih kecil daripada y (x <= y) jika dan hanya jika x + y = y
Teorema
2.7
<=
adalah suatu bagian dari urutan
Bukti
Dari teorema 1 : x + x = x, sehingga
x <= x
Jika x <= y, maka x + y = y ;
Jika y <= x, maka x = y = y + x
=x
Sehingga jika x <= y dan y <=
x, maka x = y
Dapat disimpulkan :
x <= y dan y <= z, maka x + y
= y dan y + z = z
x + z = x + (y + z) = (x + y) + z =
y +z = z,
Sehingga
x <= z
Teorema
2.8
Jika x, y, dan x adalah
elemen-elemen dari aljabar boolean, maka <= mempunyai sifat – sifat berikut
ini :
(I)
Jika
x <= y dan x <= z, maka x <= yz
(II)
Jika
x <= y, maka x <= y + z untuk elemen z
(III)
Jika
x <= y, maka xz <= y untuk elemen z
(IV)
x
<= jika dan hanya jika y’ <= x’
Bukti
(I)
x
+ y = y dn x + z = z, sehingga x + yz = (x + y)(x + z) =yz
(II)
Jika
x + y = y, maka x + (y + z) = (x + y) + z = y + z
(III)
Dengan
hukum penyerapan, xz + x = atau xz <= x
(IV)
x
<= y, maka x + y = y dan y’ = (x + y)’
Sehingga
y’ + x’ = (x+y)’ + x’ = ((x+y)x)’ dengan hukum penyerapan
Konversi
(x’)’ = x
0 komentar:
Posting Komentar