Bab 3 Fungsi Boolean

Assalamualaikum wr.wb

Yahalo!!!  kawan kita berjumpa lagi dalam pembahasan BAB 3 masih dalam rangka belajar logika informatika, huft perjalanan kita masih panjang kawan tersisa 7 BAB lagi, tapi saya harap semangat kawan – kawan tidak pernah pudar dalam mencari ilmu, “karena mencari ilmu itu manfaatnya untuk kita sendiri”, kata –kata bijak from sim abdi.hahahaha, oke dalam memulai pembahasan BAB 3 ini seperti biasa kita ucapkan bismillahirahmanirahim, baiklah bab 3 we are coming...

BAB 3 Fungsi Boolean

3.1 Definisi

         

          Definisi 3.1

Misalkan x₁ x₂, x₃,…, x_n merupakan variabel-variabel aljabar Boolean. Fungsi Boolean dengan n variabel adalah fungsi yang dapat dibentuk dari aturan-aturan berikut:

   1.      Fungsi Konstan :

f(x₁, x₂, x₃,… ,x_n) = a,

   2.      Fungsi Proyeksi :

f(x₁, x₂, x₃,…, x_n) = Xi, I: 1,2,  n

   3.      Fungsi Komplemen :

g(x₁, x₂, x₃,…,x_n) = (f (x_1, x₂, x₃,… ,x_n))

   4.      Fungsi Gabungan :

h(x₁,x_2,x_3,…, x_n) = f (x₁, x₂,x₃,…, x_n)  +  g (x₁, x₂, x₃,…, x_n)

h(x₁,x₂, x₃,…,x_n) = f (x₁, x₂, x₃,…, x_n) . g (x₁, x₂, x₃,…, x_n)

Catatan

- fungsi identitas : fungsi proyeksi satu variabel, dimana f(x) = x

Contoh

Berikut adalah fungsi-fungsi Boolean dengan variabel X, y, dan Z,dan a yang merupakan suatu elemen dalam aljabar : 

(x)                    = x + x’a

g(x, y)              = x’y + xy’ + y’

h(x,y,z)            = axy’z + yz’ + a + xy

Teorema 3.1

Jika f adalah fungsi Boolean dengan satu variable, maka untuk semua nilai x, adalah

f(x)                  = f (1) x +f (0) x’
Untuk kemungkinan bentuk f :

Kasus 1:

f adalah fungsi konstan, f(x) = a

f(1)x + f(0)x’ = ax + ax’ = a(x + x’) = a1 = 1 = f(x)

Kasus 2 :

f adalah fungsi identitas

f(1)x + f(0)x’ = 1x + 0x’ = x + 0 = x = f(x)

Kasus 3 :        

g(x)      = (f(x))’

g(x)      = (f(x))’          = (f(1)x + f(0)x’)’

                                    = (f(1)x)’(f(0))’ + x)

                                    = (f(1))’ + x’)((f(0))’ + x)

                                    = (f(1))’(f(0))’ +(f(1))’x + (f(0))’x’ +xx’

                                    = (f(1))’(f(0))’(1) + (f(1))’x + (f(0))’x’

                                    = (f(1))’(f(0))’(x + x’) + (f(1))’x + (f(0))’x’

                                    = (f(1))’(f(0))’x + (f(1))’x + (f(1))’(f(0))’x’ + (f(0))’x’

                                    = (f(1))’x + (f(0))’x’ (hukum penyerapan)

                                    = g(1)x + g(0)x’

Kasus 4:

h(x)      = f(x) + g(x)

h(x)      = f(x) + g(x)   = f(1)x + f(0)x’ +g(1)x + g (0)x’

                                    = (f(1) + g(1))x + (f(0) + g(0))x’

                                    = h(1)x + h(0)x’

Kasus 5 :

K(x)     = f(x)g(x)

K(x)     = f(x)g(x) = (f(1)x + f(0)x’)(g(1)x + g(0)x’) 

= f(1)g(1)xx + f(1)g(0)xx’ + f(0)g(1)x’x + f(0)g(0)x’x’

= f(1)g(1)x + f(0)g(0)x’

= k(1)x + k(0)x’

Bentuk di atas adalah bentuk kanonik  fungsi  Boolean satu variabel .Dengan cara yang sama, jika f adalah fungsi Boolean dengan dua variabel, maka  untuk nilai x dan y bentuk kanoniknya  adalah sebagai berikut :

f(x,y)   = f(1,1)xy + f(1,0)xy ‘+ f(0,1)x’y + f(0,0)x’y’

Rumus Umum Bentuk Hanonik

Rumus pembentukan bentuk kanonik f fungsi Boolean dengan n variabel adalah sebagai berikut:

f(x₁,.....,x_n) = ∑ f (e₁,,.....e_n)x₁^e₁x₂^e₂...x_n^e_n

dimana ei bernilai 0 dan 1 dan x_i^e_i diartikan sebagai x_i atau x_i’ sesuai dengan e₁ (bernilai 1 atau 0).

3.2 Bentuk Fungsi

Suatu fungsi Boolean dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk berbeda, tapi mempunyai arti yang sama.

Contoh fungsi-fungsi Boolean berikut:

f(x)                  = x + x’a

g(x,y)              = x’y + xy’ + y’

h(x,y)              = x’y’

k(x,y)              = (x + y)’

f1(x,y)             = x’ .y’

f2(x,y)             = (x+y)’

Dengan menggunakan hukum De Morgan dapat dinyatakan bahwa h dan k adalah fungsi yang sama, juga untuk fungsi f1 dan f2. Dapat disimpulkan bahwa beberapa fungsi boolean mungkin mempunyai bentuk berbeda tetapi nilainya sama. Oleh karena itu, diperlukan cara untuk menentukan apakah dua ekspresi boolean yang merepresentasikan mempunyai nilai sama. Cara tersebut adalah menggunakan bentuk standar atau bentuk kanonik.

Contoh

Fungsi Boolean:

f(x) = x + x’a

dimana f mempunyai 4 elemen aljabar Boolean yaitu 0, a, a’,1 Tentukan bentuk kanoniknya !

Maka kita harus melakukan pemeriksaan untuk semua elemen fungsi, yaitu:

x	f (x)
0	0 + 1.a =a
a	a + a’.a = a + 0 =a
a’	a’ + a.a = a’ + a = 1
1	1 + 0.a + 1 + 0 =1

Kita dapat memperoleh bentuk kanoniknya sebagai berikut :

f (x)     = f(1) x + f(0) x’

            = 1.x + a.x’

            = x +ax’

            = (x + a).(x+x’)

            = (x + a).1

            = x + a

Kegunaan bentuk kanonik

Bentuk kanonik digunakan untuk menentukan apakah dua ekspresi merupakam fungsi yang sama.

Seringkali fungsi Boolean dinyatakan dengan operasi yang berlebihan. Kita dapat mengkonversi bentuk fungsi Boolean menjadi bentuk minimum, yaitu fungsi yang masih menghasilkan nilai yang sama tapi dengan jumlah yang minimum.

Cara representasi fungsi Boolean dapat dinyatakan secara :

    1.      Aljabar

    2.      Dengan table kebenaran

Contoh

Fungsi F = xyz’

Representasi Secara Aljabar

Representasi secara aljabar adalah F = xyz’

Representasi dengan Tabel Kebenaran

Representas dengan tabel kebenarannya adalah sebagai berikut :

X     Y     Z	F
0     0     0 0     0     1 0     1     0 0     1     1 1     0     0 1     0     1 1     0     0 1     0     1	0 0 0 0 0 0 1 0

Jumlah elemen dalam tabel kebenaran adalah jumlah kombinasi darl nilai variabel – variabelnya, yaitu sejumlah 2ⁿ, dimana n adalah banyaknya  variabel biner

Konversi dari tabel kebenaran

Fungsi Boolean yang dinyatakan dalam tabel kebenaran dapat dikonversi menjadi bentuk aljabar

Contoh

Fungsi bolean dengan tabel kebenaran sebagai berikut :

X     Y     Z	F
0     0     0 0     0     1 0     1     0 0     1     1 1     0     0 1     0     1 1     0     0 1     0     1	0 1 0 0 1 0 0 1

Dari tabel kebenaran

(  1)   F₁         = x’y’z + xy’z’ + xyz

             = m1 + m4 + m7            
F1’       = x’y’z’ + x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz’

              Atau

(  2)   F₁         = (x + y +z) (x + y’ +z) (x + y’ + z’) (x’ + y + z’) (x’ + y’ + z)
                   = (F1’)
                   = M0 M2 M3 M5 M6

Bentuk (1) dan (2) merupakan fungsi/bentuk standar, yaitu fungsi yang literalnya ditulis lengkap pada tiap suku.

      
1.      Bentuk pertama (1) disebut SOP (Sum Of Product)/ Minterm

      2.      Bentuk kedua (2) disebut POS (Product Of Sum)/Maxterm

Fungsi Boolean yang diekspresikan dalam bentuk SOP atau POS disebut fungsi/bentuk kanonik.

3.3 Bentuk Standar dan Bentuk Kanonik

3.3.1 Bentuk Standard an Bentuk Kanonik Fungsi Boolean 2 Variabel

X      Y	Sum Of Product (SOP)		Product Of Sum (POS)
	Term	Nilai	Term	nilai
1     1 1     0 0     1 0     0	x     y x     y’ x’    y x’    y’	m3 m2 m1 m0	x’ + y’ x’ + y x  + y’ x  + y	M3 M2 M1 M0

3.3.2 Bentuk Standard an Kanonik Fungsi Boolean 3 Variabel

X      Y     Z	Sum Of Product (SOP)		Product Of Sum (POS)
	Term	Nilai	Term	nilai
1     1     1 1     1     0 1     0     1 1     0     0 0     1     1 0     1     0 0     0     1 0     0     0	x     y     z x     y     z’ x    y’     z x    y’     z’ x’    y     z x’     y     z’ x’     y’     z x’     y’     z’	m7 m6 m5 m4 m3 m2 m1 m0	x’ + y’ +z’ x’ + y’ +z x’  + y + z’ x’  + y + z x + y’ + z’ x + y’ + z x + y + z’ x + y + z	M7 M6 M5 M4 M3 M2 M1 M0