Bab 1 Himpunan

Logika Informatika

Assalamualaikum wr.wb

     Halo semuanya selamat datang di blog saya yang sederhana ini,kali  ini menjadi awal dari perjumpaan kita sekaligus debut bagi saya sebagai blogger hahaha cie debut gaya pisan kata-katanya.hihihi, baiklah untuk mengawali perjumpaan, mari kita ucapkan bismillahirahmanirahim untuk menambah berkah perjumpaan kita kali ini.amin,  pada kesempatan kali ini saya akan berbagi ilmu mengenai salah mata kuliah yang sedang saya pelajari di semester pertama ini,
yaitu mata kuliah “Logika Informatika” ,sebelumnya past kita semua bertanya-tanya mata pelajaran seperti apa sih logika informatika itu jika baru pertama mendengar mata kuliah ini, saya pun begitu ketika pertama kali berjumpa mata kuliah ini, namun setelah saya pelajari ternyata mata pelajaran ini mirip loh sama pelajaran matematika,jadi kita tidak akan terlalu canggung ketika menemui mata kuliah ini untuk pertama kalinya, materi yang akan saya bahas kali ini di bersumber dari buku perpustakaan yang saya pinjam di kampus *curcol.hehehe, oh iya alasan lain saya membuat tulisan ini juga untuk memenuhi tugas yang telah diberikan,maklum dimana ada UAS disitu ada tugas.hahaha, baiklah sekarang langsung saja ke pokok materi yang pertama yaitu mengenai teori himpunan.

BAB 1 Teori Himpunan

1.1           Himpunan

Konsep ‘himpunan’ merupakan konsep dasar dalam matematika.Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan secara jelas.Objek-objek tersebut disebut elemen-elemen atau anggota-anggota himpunan.

Himpunan

Koleksi objek yang didefinisikan secara jelas dalam sembarang urutan (tak diperhatikan keberurutan objek-objek anggotanya).

Anggota Himpunan

Objek milik himpunan disebut anggota atau elemen himpunan.Jika p milik himpunan A, ditulis p ∈ A, dibaca “p adalah anggota himpunan A” atau “p milik himpunan A”. Jika objek q bukan milik himpunan A, ditulis q ∉ A.

Himpunan Hingga dan Takhingga (Finite and Infinite Set)

Himmpunan hingga (finite set) jika himpunan berisi sejumlah hingga elemen berbeda. Selain itu disebut himpunan tak hingga (infinite set).

1.2           Notasi dan Definisi

            1.2.1        Notasi Himpunan

Himpunan dinyatakan dengan huruf besar : A, B, C, … Elemen – elemen dalam himpunan ditanyakan dengan huruf kecil : a, b, c, …

Contoh

1.      Himpunan A terdiri atas bilangan 1,3,5,7, maka dapat dituliskan sebagai :

A = {1,3,5,}; elemen – elemen didaftarkan dengan dipisahkan tanda koma dan dalam tanda kurung kurung kurawal {}.

2.      Himpunan B adalah himpunan bilangan genap positif, maka dapat dituliskan dengan :

B = {x | x genap > 0}

            1.2.2        Cara Penulisan Himpunan

Terdapat dua cara penulisan himpunan, yaitu:

a.       Pendaftaran (list), mendaftarkan semua anggota himpunan.

A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

b.      Deskripsi (Rule atau Predikat), mendefinisikan suatu aturan atau predikat yang merupakan batasan bagi anggota – anggota himpunan.

A = { x | P(x)}

misalnya: A = { x | x<10 dan x ∈ bilangan asli}

            1.2.3        Definisi – Definisi

Definisi – definisi pada teori himpunan

a.       Himpunan bagian (subset)

A ⊆   B ; A himpunan bagian dari B bila tiap elemen A adalah elemen B.

A ⊆  B ; A himpunan bagian asli dari B bila tiap elemen A adalah elemen B, tapi himpunan A tidak sama dengan B atau bila

A ⊆  B dan A ≠ B

A = B bila A ⊆  B dan B ⊆  A

b.      Himpunan Kosong

HImpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai elemen. Himpunan kosong selalu merupakan salah satu himpunan bagiannya.

c.       Himpunan Kuasa (Power Set)

Himpunan seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan.

1.3           Operasi – Operasi Dasar Himpunan

            1.3.1        Union (Perpaduan)

Union himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari semua elemen yang termasuk dalam A atau B atau keduanya. Union tersebut dapat dinyatakan sebagai :

            A ∪ B  dibaca A union B

            Contoh

            A = {a,b,c,d} dan B = {e,f,g}, maka A ∪  B = {a,b,c,d,e,f,g}

Union A dan B dapat didefinisikan secara ringkas sebagai berikut

            A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B}

            Berlaku hukum A ∪  B = B ∪ A

Subhimpunan

A dan B kedua – duanya selalu berupa subhimpunan dari A ∪ B, yaitu :

A  (A ⊂ B) dan B ⊂  (A ∪ B)

            1.3.2        Irisan (perpotongan)

Irisan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari elemen – elemen yang dimilki bersama oleh A dan B, yaitu elemen – elemen yang termasuk A dan juga termasuk B. Irisan dinyatakan dengan :

           
             A ∩ B yang dibaca A ‘irisan’ B

             Contoh

             S = {a,b,c,d} dan T = {b,d,f,g}                                    S ∩ T ={b,d}

Dapat dinyatakan dengan :

             A ∩ B  = { x | x ∈ A dan x ∈ B}

Setiap himpunan A dan himpunan B mengandung A ∩ B sebagai subhimpunan, yaitu :

            
            (A ∩ B) ⊂ A dan (A ∩ B) ⊂ B

Jika himpunan A dan himpunan B tidak mempunyai elemen – elemen yang dimiliki bersama, berarti A dan B terpisah, maka irisan dari keduanya adalah  himpunan kosong : A ∩ B = ɸ

            1.3.3        Selisih

Selisih himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari elemen – elemen yang termasuk A tetapi tidak termasuk B, dan dinyatakan dengan :

            A – B dibaca ‘selisih A dan B’ atau ‘A kurang B’.

            Dapat dinyatakan dengan : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B}

            Himpunan A mengandung A – B sebagai subhimpunan, berarti : (A – B) ⊂ A

            1.3.4        Komplemen  

Komplemen dari himpunan A adalah himpunan dari elemen – elemen yang tidak termasuk A, yaitu selisih dari himpunan semesta U dan A. Komplemen dapat didefinisikan secara ringkas sebagai berikut :

            A’ = { x | x ∈ U dan x ∉ A} atau A’ = { x | x A}

Union sembarang himpunan A dan komplemennya A’ adalah himpunan semesta, yaitu:

           A ∪  A = U

           A ∩ A = ɸ

Komplemen dari komplemen dari himpunan A adalah himpunan A sendiri : (A)’ = A

Selisih A dan B sama dengan irisan A dan komplemen B; A-B = A ∩  B’.

1.3.5  Hukum-hukum Pada Operasi Himpunan

A ∪ S = S	A + S  = A’	A ∩ S = A
A ∪ A = A	A + A  = ∅	A ∩ A = A
A ∪ A’ = S	A + A’ = S	A ∩ A’ = ∅
A ∪ ∅ = A	A + ∅ = A	A ∩ ∅ = ∅
A ∪  B = (A + B) ∪ (A ∩ B ) =( A + B) + (A ∩ B )
A + B = (A ∪ B) – (A ∩ B )
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪   (A ∩ C)
A ∪  (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪  C )
(A’)’ = A

1.4           Perkalian Himpunan dan Relasi

Perkalian Himpunan (Product of Sets)

A x B = {(x,y) | (x ∈ A) dan (y ∈ B) }

Pasangan Berurutan (Ordered Pair)

Pasangan berurutan berisi dua objek dengan urutan tetap. Dua pasangan berururtan sama apabila :

(x,y) = (u,v) ⇔ ((x = u) dan (y = v))

Pasangan berurutan diperluas menjadi n tuple disebut n-tuple, maka 3-tuple disebut sama, apabila :

(x,y,z) = (u,v,w) ⇔((x = u) dan (y = v) dan (z =w))

Relasi

Relasi adalah aksi meghubungkan dua objek satu dengan yang lainnya.

Contoh relasi dalam kehidupan sehari – hari

·         Relasi orang tua antara bapak dan anak.

·         Relasi memperkerjakan antara majkan dan pegawai.

Contoh relasi pada aritmatika

·         Kurang dari

·         Lebih besar dari

Contoh dalam geometri

·         Relasi antara luas bujur sangkar dengan panjang sisinya.

Suatu ‘Relasi R’ terdiri dari :

1.      Sebuah himpunan A

2.      Sebuah himpunan B

3.      Suatu kalimat terbuka P(x,y) dimana P(a,b) adlah benar atau salah untuk sembarang pasangan terurut (a,b) yang termasuk dalam A x B

Maka dapat disebut R suatu relasi dari A ke B menyatakan dengan :

R = (A, B, P(x,y))

Selanjutnya, jika P(a,b) adalah benar ditulis :

aRb

yang berarti “a berhubungan dengan b”

‘A x B’ berarti A cross B, yang didefinisikan sebagai :

{<a,b> | a ∈ A dan b ∈ B}

Contoh

Diketahui A = {2,3}     B = {a,b,c}

A x B = {<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>,<3,c>}

B x A = {<a,2>,<a,3>,<b,2>,<b,3>,<c,2>,<c,3>}

A x A = {<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}

Relasi adalah himpunan bagian dari perkalian himpunan

Contoh

Relasi ‘lebih kecil’,’sama dengan’dan lain-lain

Jika A = {1,2,3,4,5}, maka relasi ‘sama dengan’ dari set A adalah :

E = {<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}

Relasi dapat di ekspresikan sebagai terurut tertentu, misalnya (x,y) ∈ R, dimana R adalah relasi, atau sebagai xRy, pada matematika, relasi sering dilambangkan symbol khusus, bukan huruf capital.

            Contoh

            Relasi “kurang dari” dilambangkan “<”

Sesungguhnya, “<” adalah nama himpunan dengan anggota-anggotanya pasangan berurutan atau relasi “<”, yaitu:

< adalah {(x,y) | x,y adalah bilangan real dan x kurang dari y}

Domain dan Range

Misalnya S adalah relasi biner. Himpunan D(S) semua objek x untuk y, sehingga, (x,y) ∈ S disebut domain dari S, yaitu :

D(S) = {x | (℈y)((x,y) ∈ S)}

Juga himpunan R(S) semua objek y untuk x, dimana (x, y) ∈ S disebut range dari S, yaitu

D(S) = {y | (℈x)((x, y) ∈ S)}

Sifat –sifat relasi

Reflexive

Jika untuk setiap x ∈ X, xRx, maka (x, x) ∈ R.

Symmetric

Jika untu setiap x dan y dalam X, ketika xRy, maka yRx.

Transitive

Jika untuk setiap x, y dan z dalam X, ketika xRy dan yRz, maka xRz.

Irreflexive

Jika untuk setiap x ∈ X, maka (x, x) ∉  R

Antisymmetric

Jika untuk setiap x dan y dalam X, ketika xRy dan yRx, maka x = y

Komposisi

R o S = {(x, z) | x ∈ X ∧ z ∈ Z  (℈y)(y ∈ Y ˄ (x,y) ∈ R ˄(y, z) ∈ S)

Nah itu kawan untuk pembahasan BAB 1, oh iya pembahasan ini juga terdiri dari 10 BAB pembahasan jadi untuk melihat BAB selanjutnya yuk intip disini